强化学习-1-多臂老虎机

FrWalker2024-08-152024-08-15

强化学习的笔记、理解、感悟及代码实现,仅按个人思维进行精华总结和记录，使用的教程：动手学强化学习

1 2	import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

问题描述

在多臂老虎机（multi-armed bandit，MAB）问题中，K根拉杆均对应一个奖励概率**R**,从而获得对应的奖励r.目标是在在各根拉杆的奖励概率分布未知的情况下，操作T次拉杆后获得尽可能高的累积奖励。

这是一种无状态的强化学习，只存在动作和奖励。

class BernoulliBandit:
    """ 伯努利多臂老虎机,输入K表示拉杆个数 """
    def __init__(self, K):
        self.probs = np.random.uniform(size=K)  # 随机生成K个0～1的数,作为拉动每根拉杆的获奖概率
        self.best_idx = np.argmax(self.probs)  # 获奖概率最大的拉杆
        self.best_prob = self.probs[self.best_idx]  # 最大的获奖概率
        self.K = K

    def step(self, k):
        # 当玩家选择了k号拉杆后,根据拉动该老虎机的k号拉杆获得奖励的概率返回1（获奖）或0（未获奖）
        if np.random.rand() < self.probs[k]:
            return 1
        else:
            return 0

方法分析

算法需要根据某种策略决定每一步选择哪根拉杆，获得尽可能高的累积奖励。最大化累积奖励等价于最小化累积懊悔（regret即每一步选择杆与最优杆的获奖概率差）。

class Solver:
    """ 多臂老虎机算法基本框架 """
    def __init__(self, bandit):
        self.bandit = bandit
        self.counts = np.zeros(self.bandit.K)  # 每根拉杆的尝试次数
        self.regret = 0.  # 当前步的累积懊悔
        self.actions = []  # 维护一个列表,记录每一步的动作
        self.regrets = []  # 维护一个列表,记录每一步的累积懊悔

    def update_regret(self, k):
        # 计算累积懊悔并保存,k为本次动作选择的拉杆的编号
        self.regret += self.bandit.best_prob - self.bandit.probs[k]
        self.regrets.append(self.regret)

    def run_one_step(self):
        # 返回当前动作选择哪一根拉杆,由每个具体的策略实现
        raise NotImplementedError

    def run(self, num_steps):
        # 运行一定次数,num_steps为总运行次数
        for _ in range(num_steps):
            k = self.run_one_step()
            self.counts[k] += 1
            self.actions.append(k)
            self.update_regret(k)

可视化：

def plot_results(solvers, solver_names):
    """生成累积懊悔随时间变化的图像。输入solvers是一个列表,列表中的每个元素是一种特定的策略。
    而solver_names也是一个列表,存储每个策略的名称"""
    for idx, solver in enumerate(solvers):
        time_list = range(len(solver.regrets))
        plt.plot(time_list, solver.regrets, label=solver_names[idx])
    plt.xlabel('Time steps')
    plt.ylabel('Cumulative regrets')
    plt.title('%d-armed bandit' % solvers[0].bandit.K)
    plt.legend()
    plt.show()

策略选择

ϵ-贪心算法

在每一步选择拉杆时，根据历史经验选择一个均值（期望）奖励最高的拉杆，同时引入ϵ作为噪声概率进行随机选择。

ϵ随着各拉杆的奖励估值越来越准确，可以逐渐减小，将优于固定值的ϵ
每个拉杆的期望奖励估值采用增量式更新，减少复杂度。

class DecayingEpsilonGreedy(Solver):
    """ epsilon值随时间衰减的epsilon-贪婪算法,继承Solver类 """
    def __init__(self, bandit, init_prob=1.0):
        super(DecayingEpsilonGreedy, self).__init__(bandit)
        self.estimates = np.array([init_prob] * self.bandit.K)
        self.total_count = 0

    def run_one_step(self):
        self.total_count += 1
        if np.random.random() < 1 / self.total_count:  # epsilon值随时间衰减
            k = np.random.randint(0, self.bandit.K)
        else:
            k = np.argmax(self.estimates)

        r = self.bandit.step(k)
        self.estimates[k] += 1. / (self.counts[k] + 1) * (r -self.estimates[k])#增量式更新期望奖励

        return k

sample ：

np.random.seed(1)
bandit_10_arm = BernoulliBandit(10)
np.random.seed(1)#需要设置两次，否则很难收敛（或者调整ϵ的衰减速率）
decaying_epsilon_greedy_solver = DecayingEpsilonGreedy(bandit_10_arm)
decaying_epsilon_greedy_solver.run(50000)
print('epsilon值衰减的贪婪算法的累积懊悔为：', decaying_epsilon_greedy_solver.regret)
plot_results([decaying_epsilon_greedy_solver], ["DecayingEpsilonGreedy"])

上置信界算法(upper confidence bound，UCB)

在每一步选择拉杆时，根据每根杆的期望奖励上界来选取拉杆。每根拉杆即一个动作被尝试次数越少，其不确定性越高，其期望奖励上界越大。

UCB算法认为每根拉杆的不确定性随着尝试次数的增加而减小，因此会更倾向于选择尝试次数较少的拉杆。
不确定性度量： ,其中为当前动作的获奖概率，为动作在时间t内的尝试次数,+1是为了避免除数为0,可设p=1/t。

class UCB(Solver):
    """ UCB算法,继承Solver类 """
    def __init__(self, bandit, coef, init_prob=1.0):
        super(UCB, self).__init__(bandit)
        self.total_count = 0
        self.estimates = np.array([init_prob] * self.bandit.K)
        self.coef = coef

    def run_one_step(self):
        self.total_count += 1
        ucb = self.estimates + self.coef * np.sqrt(
            np.log(self.total_count) / (2 * (self.counts + 1)))  # 计算上置信界
        k = np.argmax(ucb)  # 选出上置信界最大的拉杆
        r = self.bandit.step(k)
        self.estimates[k] += 1. / (self.counts[k] + 1) * (r - self.estimates[k])
        return k

sample ：

np.random.seed(1)
coef = 1  # 控制不确定性比重的系数
UCB_solver = UCB(bandit_10_arm, coef)
UCB_solver.run(5000)
print('上置信界算法的累积懊悔为：', UCB_solver.regret)
plot_results([UCB_solver], ["UCB"])

汤普森采样算法

汤普森采样算法（Thompson Sampling，TS）是一种基于概率采样的强化学习算法。它通过对每个动作的奖励分布进行采样，从而估计出每个动作的概率分布，并根据这些概率分布进行动作选择。通常用 Beta 分布对当前每个动作的奖励概率分布进行建模

汤普森采样是一种计算所有拉杆的最高奖励概率的蒙特卡洛采样方法
Beta 分布:若某拉杆被选择了k次，其中m1次奖励为 1，m2次奖励为 0，则该拉杆的奖励服从参数为的 Beta 分布。

class ThompsonSampling(Solver):
    """ 汤普森采样算法,继承Solver类 """
    def __init__(self, bandit):
        super(ThompsonSampling, self).__init__(bandit)
        self._a = np.ones(self.bandit.K)  # 列表,表示每根拉杆奖励为1的次数
        self._b = np.ones(self.bandit.K)  # 列表,表示每根拉杆奖励为0的次数

    def run_one_step(self):
        samples = np.random.beta(self._a, self._b)  # 按照Beta分布采样一组奖励样本
        k = np.argmax(samples)  # 选出采样奖励最大的拉杆
        r = self.bandit.step(k)

        self._a[k] += r  # 更新Beta分布的第一个参数
        self._b[k] += (1 - r)  # 更新Beta分布的第二个参数
        return k

sample ：

np.random.seed(1)
thompson_sampling_solver = ThompsonSampling(bandit_10_arm)
thompson_sampling_solver.run(5000)
print('汤普森采样算法的累积懊悔为：', thompson_sampling_solver.regret)
plot_results([thompson_sampling_solver], ["ThompsonSampling"])